3.179 \(\int (c+d x)^3 \cot ^3(a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=256 \[ -\frac{3 d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{3 i d^3 \text{PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}-\frac{3 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,e^{2 i (a+b x)}\right )}{4 b^4}+\frac{3 d^2 (c+d x) \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac{(c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{3 i d (c+d x)^2}{2 b^2}-\frac{(c+d x)^3}{2 b}+\frac{i (c+d x)^4}{4 d} \]

[Out]

(((-3*I)/2)*d*(c + d*x)^2)/b^2 - (c + d*x)^3/(2*b) + ((I/4)*(c + d*x)^4)/d - (3*d*(c + d*x)^2*Cot[a + b*x])/(2
*b^2) - ((c + d*x)^3*Cot[a + b*x]^2)/(2*b) + (3*d^2*(c + d*x)*Log[1 - E^((2*I)*(a + b*x))])/b^3 - ((c + d*x)^3
*Log[1 - E^((2*I)*(a + b*x))])/b - (((3*I)/2)*d^3*PolyLog[2, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^4 + (((3*I)/2)*d*(c + d*x
)^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^2 - (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^((2*I)*(a + b*x))])/(2*b^3) - (((3*I)
/4)*d^3*PolyLog[4, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^4

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.368376, antiderivative size = 256, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 13, number of rules used = 10, integrand size = 16, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.625, Rules used = {3720, 3717, 2190, 2279, 2391, 32, 2531, 6609, 2282, 6589} \[ -\frac{3 d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{3 i d^3 \text{PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}-\frac{3 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,e^{2 i (a+b x)}\right )}{4 b^4}+\frac{3 d^2 (c+d x) \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac{(c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{3 i d (c+d x)^2}{2 b^2}-\frac{(c+d x)^3}{2 b}+\frac{i (c+d x)^4}{4 d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^3*Cot[a + b*x]^3,x]

[Out]

(((-3*I)/2)*d*(c + d*x)^2)/b^2 - (c + d*x)^3/(2*b) + ((I/4)*(c + d*x)^4)/d - (3*d*(c + d*x)^2*Cot[a + b*x])/(2
*b^2) - ((c + d*x)^3*Cot[a + b*x]^2)/(2*b) + (3*d^2*(c + d*x)*Log[1 - E^((2*I)*(a + b*x))])/b^3 - ((c + d*x)^3
*Log[1 - E^((2*I)*(a + b*x))])/b - (((3*I)/2)*d^3*PolyLog[2, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^4 + (((3*I)/2)*d*(c + d*x
)^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^2 - (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^((2*I)*(a + b*x))])/(2*b^3) - (((3*I)
/4)*d^3*PolyLog[4, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^4

Rule 3720

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(b*(c + d*x)^m*(b*Tan[e
+ f*x])^(n - 1))/(f*(n - 1)), x] + (-Dist[(b*d*m)/(f*(n - 1)), Int[(c + d*x)^(m - 1)*(b*Tan[e + f*x])^(n - 1)
, x], x] - Dist[b^2, Int[(c + d*x)^m*(b*Tan[e + f*x])^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n,
1] && GtQ[m, 0]

Rule 3717

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*tan[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(I*(c + d*x)^(m + 1))/(d*
(m + 1)), x] - Dist[2*I, Int[((c + d*x)^m*E^(2*I*k*Pi)*E^(2*I*(e + f*x)))/(1 + E^(2*I*k*Pi)*E^(2*I*(e + f*x)))
, x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IntegerQ[4*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rule 32

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)^(m + 1)/(b*(m + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, m}, x] && N
eQ[m, -1]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rubi steps

\begin{align*} \int (c+d x)^3 \cot ^3(a+b x) \, dx &=-\frac{(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \cot ^2(a+b x) \, dx}{2 b}-\int (c+d x)^3 \cot (a+b x) \, dx\\ &=\frac{i (c+d x)^4}{4 d}-\frac{3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac{(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+2 i \int \frac{e^{2 i (a+b x)} (c+d x)^3}{1-e^{2 i (a+b x)}} \, dx-\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \, dx}{2 b}+\frac{\left (3 d^2\right ) \int (c+d x) \cot (a+b x) \, dx}{b^2}\\ &=-\frac{3 i d (c+d x)^2}{2 b^2}-\frac{(c+d x)^3}{2 b}+\frac{i (c+d x)^4}{4 d}-\frac{3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac{(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}+\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{b}-\frac{\left (6 i d^2\right ) \int \frac{e^{2 i (a+b x)} (c+d x)}{1-e^{2 i (a+b x)}} \, dx}{b^2}\\ &=-\frac{3 i d (c+d x)^2}{2 b^2}-\frac{(c+d x)^3}{2 b}+\frac{i (c+d x)^4}{4 d}-\frac{3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac{(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{3 d^2 (c+d x) \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{(c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{\left (3 i d^2\right ) \int (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\left (3 d^3\right ) \int \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=-\frac{3 i d (c+d x)^2}{2 b^2}-\frac{(c+d x)^3}{2 b}+\frac{i (c+d x)^4}{4 d}-\frac{3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac{(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{3 d^2 (c+d x) \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{(c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{3 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac{\left (3 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1-x)}{x} \, dx,x,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}+\frac{\left (3 d^3\right ) \int \text{Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{2 b^3}\\ &=-\frac{3 i d (c+d x)^2}{2 b^2}-\frac{(c+d x)^3}{2 b}+\frac{i (c+d x)^4}{4 d}-\frac{3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac{(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{3 d^2 (c+d x) \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{(c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{3 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}-\frac{\left (3 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(x)}{x} \, dx,x,e^{2 i (a+b x)}\right )}{4 b^4}\\ &=-\frac{3 i d (c+d x)^2}{2 b^2}-\frac{(c+d x)^3}{2 b}+\frac{i (c+d x)^4}{4 d}-\frac{3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac{(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{3 d^2 (c+d x) \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{(c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{3 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_4\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{4 b^4}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 6.88083, size = 994, normalized size = 3.88 \[ -\frac{\csc (a) (\log (\cos (b x) \sin (a)+\cos (a) \sin (b x)) \sin (a)-b x \cos (a)) c^3}{b \left (\cos ^2(a)+\sin ^2(a)\right )}+\frac{3 d \csc (a) \sec (a) \left (b^2 e^{i \tan ^{-1}(\tan (a))} x^2+\frac{\left (i b x \left (2 \tan ^{-1}(\tan (a))-\pi \right )-\pi \log \left (1+e^{-2 i b x}\right )-2 \left (b x+\tan ^{-1}(\tan (a))\right ) \log \left (1-e^{2 i \left (b x+\tan ^{-1}(\tan (a))\right )}\right )+\pi \log (\cos (b x))+2 \tan ^{-1}(\tan (a)) \log \left (\sin \left (b x+\tan ^{-1}(\tan (a))\right )\right )+i \text{PolyLog}\left (2,e^{2 i \left (b x+\tan ^{-1}(\tan (a))\right )}\right )\right ) \tan (a)}{\sqrt{\tan ^2(a)+1}}\right ) c^2}{2 b^2 \sqrt{\sec ^2(a) \left (\cos ^2(a)+\sin ^2(a)\right )}}+\frac{d^2 e^{i a} \csc (a) \left (2 b^3 e^{-2 i a} x^3+3 i b^2 \left (1-e^{-2 i a}\right ) \log \left (1-e^{-i (a+b x)}\right ) x^2+3 i b^2 \left (1-e^{-2 i a}\right ) \log \left (1+e^{-i (a+b x)}\right ) x^2-6 e^{-2 i a} \left (-1+e^{2 i a}\right ) \left (b x \text{PolyLog}\left (2,-e^{-i (a+b x)}\right )-i \text{PolyLog}\left (3,-e^{-i (a+b x)}\right )\right )-6 e^{-2 i a} \left (-1+e^{2 i a}\right ) \left (b x \text{PolyLog}\left (2,e^{-i (a+b x)}\right )-i \text{PolyLog}\left (3,e^{-i (a+b x)}\right )\right )\right ) c}{2 b^3}+\frac{3 d^2 \csc (a) (\log (\cos (b x) \sin (a)+\cos (a) \sin (b x)) \sin (a)-b x \cos (a)) c}{b^3 \left (\cos ^2(a)+\sin ^2(a)\right )}-\frac{(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{1}{4} x \left (4 c^3+6 d x c^2+4 d^2 x^2 c+d^3 x^3\right ) \cot (a)+\frac{d^3 e^{i a} \csc (a) \left (b^4 e^{-2 i a} x^4+2 i b^3 \left (1-e^{-2 i a}\right ) \log \left (1-e^{-i (a+b x)}\right ) x^3+2 i b^3 \left (1-e^{-2 i a}\right ) \log \left (1+e^{-i (a+b x)}\right ) x^3-6 e^{-2 i a} \left (-1+e^{2 i a}\right ) \left (b^2 \text{PolyLog}\left (2,-e^{-i (a+b x)}\right ) x^2-2 i b \text{PolyLog}\left (3,-e^{-i (a+b x)}\right ) x-2 \text{PolyLog}\left (4,-e^{-i (a+b x)}\right )\right )-6 e^{-2 i a} \left (-1+e^{2 i a}\right ) \left (b^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{-i (a+b x)}\right ) x^2-2 i b \text{PolyLog}\left (3,e^{-i (a+b x)}\right ) x-2 \text{PolyLog}\left (4,e^{-i (a+b x)}\right )\right )\right )}{4 b^4}+\frac{3 \csc (a) \csc (a+b x) \left (x^2 \sin (b x) d^3+2 c x \sin (b x) d^2+c^2 \sin (b x) d\right )}{2 b^2}-\frac{3 d^3 \csc (a) \sec (a) \left (b^2 e^{i \tan ^{-1}(\tan (a))} x^2+\frac{\left (i b x \left (2 \tan ^{-1}(\tan (a))-\pi \right )-\pi \log \left (1+e^{-2 i b x}\right )-2 \left (b x+\tan ^{-1}(\tan (a))\right ) \log \left (1-e^{2 i \left (b x+\tan ^{-1}(\tan (a))\right )}\right )+\pi \log (\cos (b x))+2 \tan ^{-1}(\tan (a)) \log \left (\sin \left (b x+\tan ^{-1}(\tan (a))\right )\right )+i \text{PolyLog}\left (2,e^{2 i \left (b x+\tan ^{-1}(\tan (a))\right )}\right )\right ) \tan (a)}{\sqrt{\tan ^2(a)+1}}\right )}{2 b^4 \sqrt{\sec ^2(a) \left (\cos ^2(a)+\sin ^2(a)\right )}} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(c + d*x)^3*Cot[a + b*x]^3,x]

[Out]

-(x*(4*c^3 + 6*c^2*d*x + 4*c*d^2*x^2 + d^3*x^3)*Cot[a])/4 - ((c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^2)/(2*b) + (c*d^2*E^(I*a
)*Csc[a]*((2*b^3*x^3)/E^((2*I)*a) + (3*I)*b^2*(1 - E^((-2*I)*a))*x^2*Log[1 - E^((-I)*(a + b*x))] + (3*I)*b^2*(
1 - E^((-2*I)*a))*x^2*Log[1 + E^((-I)*(a + b*x))] - (6*(-1 + E^((2*I)*a))*(b*x*PolyLog[2, -E^((-I)*(a + b*x))]
- I*PolyLog[3, -E^((-I)*(a + b*x))]))/E^((2*I)*a) - (6*(-1 + E^((2*I)*a))*(b*x*PolyLog[2, E^((-I)*(a + b*x))]
- I*PolyLog[3, E^((-I)*(a + b*x))]))/E^((2*I)*a)))/(2*b^3) + (d^3*E^(I*a)*Csc[a]*((b^4*x^4)/E^((2*I)*a) + (2*
I)*b^3*(1 - E^((-2*I)*a))*x^3*Log[1 - E^((-I)*(a + b*x))] + (2*I)*b^3*(1 - E^((-2*I)*a))*x^3*Log[1 + E^((-I)*(
a + b*x))] - (6*(-1 + E^((2*I)*a))*(b^2*x^2*PolyLog[2, -E^((-I)*(a + b*x))] - (2*I)*b*x*PolyLog[3, -E^((-I)*(a
+ b*x))] - 2*PolyLog[4, -E^((-I)*(a + b*x))]))/E^((2*I)*a) - (6*(-1 + E^((2*I)*a))*(b^2*x^2*PolyLog[2, E^((-I
)*(a + b*x))] - (2*I)*b*x*PolyLog[3, E^((-I)*(a + b*x))] - 2*PolyLog[4, E^((-I)*(a + b*x))]))/E^((2*I)*a)))/(4
*b^4) - (c^3*Csc[a]*(-(b*x*Cos[a]) + Log[Cos[b*x]*Sin[a] + Cos[a]*Sin[b*x]]*Sin[a]))/(b*(Cos[a]^2 + Sin[a]^2))
+ (3*c*d^2*Csc[a]*(-(b*x*Cos[a]) + Log[Cos[b*x]*Sin[a] + Cos[a]*Sin[b*x]]*Sin[a]))/(b^3*(Cos[a]^2 + Sin[a]^2)
) + (3*Csc[a]*Csc[a + b*x]*(c^2*d*Sin[b*x] + 2*c*d^2*x*Sin[b*x] + d^3*x^2*Sin[b*x]))/(2*b^2) + (3*c^2*d*Csc[a]
*Sec[a]*(b^2*E^(I*ArcTan[Tan[a]])*x^2 + ((I*b*x*(-Pi + 2*ArcTan[Tan[a]]) - Pi*Log[1 + E^((-2*I)*b*x)] - 2*(b*x
+ ArcTan[Tan[a]])*Log[1 - E^((2*I)*(b*x + ArcTan[Tan[a]]))] + Pi*Log[Cos[b*x]] + 2*ArcTan[Tan[a]]*Log[Sin[b*x
+ ArcTan[Tan[a]]]] + I*PolyLog[2, E^((2*I)*(b*x + ArcTan[Tan[a]]))])*Tan[a])/Sqrt[1 + Tan[a]^2]))/(2*b^2*Sqrt
[Sec[a]^2*(Cos[a]^2 + Sin[a]^2)]) - (3*d^3*Csc[a]*Sec[a]*(b^2*E^(I*ArcTan[Tan[a]])*x^2 + ((I*b*x*(-Pi + 2*ArcT
an[Tan[a]]) - Pi*Log[1 + E^((-2*I)*b*x)] - 2*(b*x + ArcTan[Tan[a]])*Log[1 - E^((2*I)*(b*x + ArcTan[Tan[a]]))]
+ Pi*Log[Cos[b*x]] + 2*ArcTan[Tan[a]]*Log[Sin[b*x + ArcTan[Tan[a]]]] + I*PolyLog[2, E^((2*I)*(b*x + ArcTan[Tan
[a]]))])*Tan[a])/Sqrt[1 + Tan[a]^2]))/(2*b^4*Sqrt[Sec[a]^2*(Cos[a]^2 + Sin[a]^2)])

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.363, size = 1194, normalized size = 4.7 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^3*cot(b*x+a)^3,x)

[Out]

-3/b*c*d^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^2-3/b*c*d^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^2+3/b^3*d^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x+3/b^3*
d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x+3/b^4*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a-6*I/b^4*d^3*polylog(4,exp(I*(b*x+a)))-3*I/b^2*d^3*
x^2+3/2*I/b^4*d^3*a^4-3*I/b^4*d^3*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))-3*I/b^4*d^3*a^2+1/4*I*d^3*x^4+I*c*d^2*x^3-I*c^3*x
+3/2*I*c^2*d*x^2-6*I*d^3*polylog(4,-exp(I*(b*x+a)))/b^4-3/b^4*d^3*a*ln(exp(I*(b*x+a))-1)+6/b^4*d^3*a*ln(exp(I*
(b*x+a)))+3/b^3*d^2*c*ln(exp(I*(b*x+a))+1)-6/b^3*d^2*c*ln(exp(I*(b*x+a)))+3/b^3*d^2*c*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-1/b
*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^3-1/b^4*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^3-1/b*d^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^3+6/b^3*c*d^2*
a^2*ln(exp(I*(b*x+a)))-3/b^3*c*d^2*a^2*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-6/b^2*c^2*d*a*ln(exp(I*(b*x+a)))+3/b^2*c^2*d*a*ln(
exp(I*(b*x+a))-1)+3/b^3*c*d^2*a^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))-3/b*c^2*d*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x-3/b*c^2*d*ln(1-exp(I*(
b*x+a)))*x-3/b^2*c^2*d*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a+3*I/b^2*d^3*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x^2-6*I/b^3*d^3*a*x-4*I/b^
3*a^3*c*d^2+2*I/b^3*d^3*a^3*x+3*I/b^2*c^2*d*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))+3*I/b^2*a^2*c^2*d+3*I/b^2*c^2*d*polylog(
2,-exp(I*(b*x+a)))+3*I/b^2*d^3*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x^2+(2*b*d^3*x^3*exp(2*I*(b*x+a))-3*I*d^3*x^2*exp(2*
I*(b*x+a))+6*b*c*d^2*x^2*exp(2*I*(b*x+a))-6*I*c*d^2*x*exp(2*I*(b*x+a))+6*b*c^2*d*x*exp(2*I*(b*x+a))-3*I*c^2*d*
exp(2*I*(b*x+a))+3*I*d^3*x^2+2*b*c^3*exp(2*I*(b*x+a))+6*I*c*d^2*x+3*I*c^2*d)/b^2/(exp(2*I*(b*x+a))-1)^2-6/b^3*
d^3*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))*x-6/b^3*d^3*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))*x-6/b^3*c*d^2*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))-6
/b^3*c*d^2*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))-2/b^4*d^3*a^3*ln(exp(I*(b*x+a)))+1/b^4*d^3*a^3*ln(exp(I*(b*x+a))-1)+6*I/
b*a*c^2*d*x-6*I/b^2*a^2*c*d^2*x+6*I/b^2*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*c*d^2*x+6*I/b^2*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*c
*d^2*x+2/b*c^3*ln(exp(I*(b*x+a)))-1/b*c^3*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-1/b*c^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)-3*I*d^3*polylog(2,
exp(I*(b*x+a)))/b^4

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 6.14236, size = 5335, normalized size = 20.84 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*cot(b*x+a)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/2*(c^3*(1/sin(b*x + a)^2 + log(sin(b*x + a)^2)) - 3*a*c^2*d*(1/sin(b*x + a)^2 + log(sin(b*x + a)^2))/b + 3*
a^2*c*d^2*(1/sin(b*x + a)^2 + log(sin(b*x + a)^2))/b^2 - a^3*d^3*(1/sin(b*x + a)^2 + log(sin(b*x + a)^2))/b^3
- 2*((b*x + a)^4*d^3 + 12*b^2*c^2*d - 24*a*b*c*d^2 + 12*a^2*d^3 + 4*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^3 + 6*(b^2*c^2
*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a)^2 - (4*(b*x + a)^3*d^3 - 12*b*c*d^2 + 12*a*d^3 + 12*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b
*x + a)^2 + 12*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 - 1)*d^3)*(b*x + a) + 4*((b*x + a)^3*d^3 - 3*b*c*d^2 + 3*a*d^3
+ 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 - 1)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) -
8*((b*x + a)^3*d^3 - 3*b*c*d^2 + 3*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2
- 1)*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (4*I*(b*x + a)^3*d^3 - 12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3 + (12*I*b*c*d^2 - 12
*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (12*I*b^2*c^2*d - 24*I*a*b*c*d^2 + (12*I*a^2 - 12*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a)
+ (-8*I*(b*x + a)^3*d^3 + 24*I*b*c*d^2 - 24*I*a*d^3 + (-24*I*b*c*d^2 + 24*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-24*I*b^2*c^
2*d + 48*I*a*b*c*d^2 + (-24*I*a^2 + 24*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a)
+ 1) + (12*b*c*d^2 - 12*a*d^3 + 12*(b*c*d^2 - a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) - 24*(b*c*d^2 - a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a)
- (-12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a) - (24*I*b*c*d^2 - 24*I*a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b
*x + a), cos(b*x + a) - 1) + (4*(b*x + a)^3*d^3 + 12*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 12*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d
^2 + (a^2 - 1)*d^3)*(b*x + a) + 4*((b*x + a)^3*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*
d^2 + (a^2 - 1)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 8*((b*x + a)^3*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b
^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 - 1)*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-4*I*(b*x + a)^3*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 +
12*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-12*I*b^2*c^2*d + 24*I*a*b*c*d^2 + (-12*I*a^2 + 12*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x +
4*a) - (8*I*(b*x + a)^3*d^3 + (24*I*b*c*d^2 - 24*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (24*I*b^2*c^2*d - 48*I*a*b*c*d^2 + (24
*I*a^2 - 24*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), -cos(b*x + a) + 1) + ((b*x + a)^4*d^3 +
4*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^3 + 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 - 2)*d^3)*(b*x + a)^2 - 24*(b*c*d^2 - a*d
^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - (2*(b*x + a)^4*d^3 + 12*b^2*c^2*d - 24*a*b*c*d^2 + 12*a^2*d^3 + (8*b*c*d^2 -
(8*a - 8*I)*d^3)*(b*x + a)^3 + (12*b^2*c^2*d - (24*a - 24*I)*b*c*d^2 + 12*(a^2 - 2*I*a - 1)*d^3)*(b*x + a)^2
+ (24*I*b^2*c^2*d - 24*(2*I*a + 1)*b*c*d^2 + (24*I*a^2 + 24*a)*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (12*b^2*c^2*
d - 24*a*b*c*d^2 + 12*(b*x + a)^2*d^3 + 12*(a^2 - 1)*d^3 + 24*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) + 12*(b^2*c^2*d - 2*
a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + (a^2 - 1)*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 24*(b^2*c^2*d
- 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + (a^2 - 1)*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-12*I*b^2
*c^2*d + 24*I*a*b*c*d^2 - 12*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-12*I*a^2 + 12*I)*d^3 + (-24*I*b*c*d^2 + 24*I*a*d^3)*(b*x +
a))*sin(4*b*x + 4*a) - (24*I*b^2*c^2*d - 48*I*a*b*c*d^2 + 24*I*(b*x + a)^2*d^3 + (24*I*a^2 - 24*I)*d^3 + (48*I
*b*c*d^2 - 48*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) + (12*b^2*c^2*d - 24*a*b*c*d^2 + 1
2*(b*x + a)^2*d^3 + 12*(a^2 - 1)*d^3 + 24*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) + 12*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a
)^2*d^3 + (a^2 - 1)*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 24*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x
+ a)^2*d^3 + (a^2 - 1)*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-12*I*b^2*c^2*d + 24*I*a*b*c*
d^2 - 12*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-12*I*a^2 + 12*I)*d^3 + (-24*I*b*c*d^2 + 24*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a)
- (24*I*b^2*c^2*d - 48*I*a*b*c*d^2 + 24*I*(b*x + a)^2*d^3 + (24*I*a^2 - 24*I)*d^3 + (48*I*b*c*d^2 - 48*I*a*d^
3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(e^(I*b*x + I*a)) - (-2*I*(b*x + a)^3*d^3 + 6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3 + (-6
*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-6*I*b^2*c^2*d + 12*I*a*b*c*d^2 + (-6*I*a^2 + 6*I)*d^3)*(b*x + a) + (-2
*I*(b*x + a)^3*d^3 + 6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3 + (-6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-6*I*b^2*c^2*d + 12*I
*a*b*c*d^2 + (-6*I*a^2 + 6*I)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + (4*I*(b*x + a)^3*d^3 - 12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*
d^3 + (12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (12*I*b^2*c^2*d - 24*I*a*b*c*d^2 + (12*I*a^2 - 12*I)*d^3)*(b*x
+ a))*cos(2*b*x + 2*a) + 2*((b*x + a)^3*d^3 - 3*b*c*d^2 + 3*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*
c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 - 1)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - 4*((b*x + a)^3*d^3 - 3*b*c*d^2 + 3*a*d^3 +
3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 - 1)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log
(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) - (-2*I*(b*x + a)^3*d^3 + 6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3 + (-6
*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-6*I*b^2*c^2*d + 12*I*a*b*c*d^2 + (-6*I*a^2 + 6*I)*d^3)*(b*x + a) + (-2
*I*(b*x + a)^3*d^3 + 6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3 + (-6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-6*I*b^2*c^2*d + 12*I
*a*b*c*d^2 + (-6*I*a^2 + 6*I)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + (4*I*(b*x + a)^3*d^3 - 12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*
d^3 + (12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (12*I*b^2*c^2*d - 24*I*a*b*c*d^2 + (12*I*a^2 - 12*I)*d^3)*(b*x
+ a))*cos(2*b*x + 2*a) + 2*((b*x + a)^3*d^3 - 3*b*c*d^2 + 3*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*
c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 - 1)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - 4*((b*x + a)^3*d^3 - 3*b*c*d^2 + 3*a*d^3 +
3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 - 1)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log
(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) - (24*d^3*cos(4*b*x + 4*a) - 48*d^3*cos(2*b*x + 2*a) +
24*I*d^3*sin(4*b*x + 4*a) - 48*I*d^3*sin(2*b*x + 2*a) + 24*d^3)*polylog(4, -e^(I*b*x + I*a)) - (24*d^3*cos(4*b
*x + 4*a) - 48*d^3*cos(2*b*x + 2*a) + 24*I*d^3*sin(4*b*x + 4*a) - 48*I*d^3*sin(2*b*x + 2*a) + 24*d^3)*polylog(
4, e^(I*b*x + I*a)) - (-24*I*b*c*d^2 - 24*I*(b*x + a)*d^3 + 24*I*a*d^3 + (-24*I*b*c*d^2 - 24*I*(b*x + a)*d^3 +
24*I*a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) + (48*I*b*c*d^2 + 48*I*(b*x + a)*d^3 - 48*I*a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) + 24*(b*c*d^
2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a) - 48*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3
, -e^(I*b*x + I*a)) - (-24*I*b*c*d^2 - 24*I*(b*x + a)*d^3 + 24*I*a*d^3 + (-24*I*b*c*d^2 - 24*I*(b*x + a)*d^3 +
24*I*a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) + (48*I*b*c*d^2 + 48*I*(b*x + a)*d^3 - 48*I*a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) + 24*(b*c*d^
2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a) - 48*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3
, e^(I*b*x + I*a)) - (-I*(b*x + a)^4*d^3 + (-4*I*b*c*d^2 + 4*I*a*d^3)*(b*x + a)^3 + (-6*I*b^2*c^2*d + 12*I*a*b
*c*d^2 + (-6*I*a^2 + 12*I)*d^3)*(b*x + a)^2 + (24*I*b*c*d^2 - 24*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - (2*I*(
b*x + a)^4*d^3 + 12*I*b^2*c^2*d - 24*I*a*b*c*d^2 + 12*I*a^2*d^3 + (8*I*b*c*d^2 - 8*(I*a + 1)*d^3)*(b*x + a)^3
+ (12*I*b^2*c^2*d - 24*(I*a + 1)*b*c*d^2 + (12*I*a^2 + 24*a - 12*I)*d^3)*(b*x + a)^2 - (24*b^2*c^2*d - (48*a -
24*I)*b*c*d^2 + 24*(a^2 - I*a)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))/(-4*I*b^3*cos(4*b*x + 4*a) + 8*I*b^3*cos(2*b
*x + 2*a) + 4*b^3*sin(4*b*x + 4*a) - 8*b^3*sin(2*b*x + 2*a) - 4*I*b^3))/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 0.621331, size = 2637, normalized size = 10.3 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*cot(b*x+a)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/8*(8*b^3*d^3*x^3 + 24*b^3*c*d^2*x^2 + 24*b^3*c^2*d*x + 8*b^3*c^3 + (-6*I*b^2*d^3*x^2 - 12*I*b^2*c*d^2*x - 6*
I*b^2*c^2*d + 6*I*d^3 + (6*I*b^2*d^3*x^2 + 12*I*b^2*c*d^2*x + 6*I*b^2*c^2*d - 6*I*d^3)*cos(2*b*x + 2*a))*dilog
(cos(2*b*x + 2*a) + I*sin(2*b*x + 2*a)) + (6*I*b^2*d^3*x^2 + 12*I*b^2*c*d^2*x + 6*I*b^2*c^2*d - 6*I*d^3 + (-6*
I*b^2*d^3*x^2 - 12*I*b^2*c*d^2*x - 6*I*b^2*c^2*d + 6*I*d^3)*cos(2*b*x + 2*a))*dilog(cos(2*b*x + 2*a) - I*sin(2
*b*x + 2*a)) + 4*(b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + 3*(a^2 - 1)*b*c*d^2 - (a^3 - 3*a)*d^3 - (b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d +
3*(a^2 - 1)*b*c*d^2 - (a^3 - 3*a)*d^3)*cos(2*b*x + 2*a))*log(-1/2*cos(2*b*x + 2*a) + 1/2*I*sin(2*b*x + 2*a) +
1/2) + 4*(b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + 3*(a^2 - 1)*b*c*d^2 - (a^3 - 3*a)*d^3 - (b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + 3*(a^2
- 1)*b*c*d^2 - (a^3 - 3*a)*d^3)*cos(2*b*x + 2*a))*log(-1/2*cos(2*b*x + 2*a) - 1/2*I*sin(2*b*x + 2*a) + 1/2) +
4*(b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + (a^3 - 3*a)*d^3 + 3*(b^3*c^2*d - b*d^3)*x
- (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + (a^3 - 3*a)*d^3 + 3*(b^3*c^2*d - b*d^3)*x)*
cos(2*b*x + 2*a))*log(-cos(2*b*x + 2*a) + I*sin(2*b*x + 2*a) + 1) + 4*(b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*a*b^2
*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + (a^3 - 3*a)*d^3 + 3*(b^3*c^2*d - b*d^3)*x - (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*a*b^2*
c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + (a^3 - 3*a)*d^3 + 3*(b^3*c^2*d - b*d^3)*x)*cos(2*b*x + 2*a))*log(-cos(2*b*x + 2*a) - I
*sin(2*b*x + 2*a) + 1) + (-3*I*d^3*cos(2*b*x + 2*a) + 3*I*d^3)*polylog(4, cos(2*b*x + 2*a) + I*sin(2*b*x + 2*a
)) + (3*I*d^3*cos(2*b*x + 2*a) - 3*I*d^3)*polylog(4, cos(2*b*x + 2*a) - I*sin(2*b*x + 2*a)) + 6*(b*d^3*x + b*c
*d^2 - (b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(2*b*x + 2*a))*polylog(3, cos(2*b*x + 2*a) + I*sin(2*b*x + 2*a)) + 6*(b*d^3*x +
b*c*d^2 - (b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(2*b*x + 2*a))*polylog(3, cos(2*b*x + 2*a) - I*sin(2*b*x + 2*a)) + 12*(b^2*d^
3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + b^2*c^2*d)*sin(2*b*x + 2*a))/(b^4*cos(2*b*x + 2*a) - b^4)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (c + d x\right )^{3} \cot ^{3}{\left (a + b x \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**3*cot(b*x+a)**3,x)

[Out]

Integral((c + d*x)**3*cot(a + b*x)**3, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (d x + c\right )}^{3} \cot \left (b x + a\right )^{3}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*cot(b*x+a)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^3*cot(b*x + a)^3, x)